En las últimas décadas, los responsables de salud pública han examinado la relación entre la preocupación por el peso y el tabaquismo de las adolescentes. Los investigadores encuestaron a un grupo de 273 chicas adolescentes seleccionadas al azar que vivían en Massachusetts (entre 12 y 15 años). Al cabo de cuatro años se volvió a encuestar a las chicas. Sesenta y tres dijeron que fumaban para mantenerse delgadas. ¿Existen pruebas fehacientes de que más del treinta por ciento de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas? La hipótesis alternativa es:
Una instructora de estadística cree que menos del 20% de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron a la proyección de medianoche del estreno de la última película de Harry Potter. Encuesta a 84 de sus estudiantes y descubre que 11 asistieron a la proyección de medianoche. Una hipótesis alternativa adecuada es:
Anteriormente, una organización informó de que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, de media, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media de la muestra fue de 4,75 horas con una desviación estándar de la muestra de 2,0. Realice una prueba de hipótesis. Las hipótesis nula y alternativa son:
Hipótesis nula e hipótesis alternativa
Denotemos dos estadísticos \(T_1=prod_{i=1}^nX_i\) y \(T_2=\min_iX_i\), observando que \(\theta>0) y \(n>0\), (18.3) es una función monotónicamente creciente respecto a \(\nu\), que alcanza su máximo cuando \(\nu\) alcanza el límite superior \(T_2\). Por lo tanto, el MLE de \(\nu\) es \hat{\nu}=\min_ix_i\). Mientras tanto, (18.3) tomar las derivadas w.r.t. \theta\) tenemos
(18.4) es una función decreciente con respecto a \theta, por lo que \ell(\theta,\nu)\n alcanza el máximo para \theta cuando (18.4) se pone a 0. 4) se ajusta a 0. Por lo tanto, \hat(\theta)=\frac{n}{log(\d_{i=1}^nx_i)-n\log(\hat{\nu})}.
Por lo tanto, tenemos el MLE de (18.8) como \((\hat{\theta},\hat{\mu})=(\frac{n}{suma_{i=1}^nx_i},\frac{m}{suma_{i=1}^my_i})\N). El valor máximo es \((\frac{n}{suma_i=1}^nx_i})^n(\frac{m}{suma_i=1}^my_i})^m\exp(-(n+m))^m). Mientras tanto, para \theta=\mu la función de probabilidad es \(\theta^(n+m)\exp(-\theta(\sum_{i=1}^nx_i+\sum_{i=1}^my_i))\n) que alcanza su máximo en \(\hat{\theta}_*=\frac{n+m}{sum_{i=1}^nx_i+\sum_{i=1}^my_i}\). El valor máximo es \((\frac{n+m}{suma_{i=1}^nx_i+{suma_{i=1}^my_i})^{n+m}\exp(-(n+m))\N).
Comentarios
Este es el primero de los tres módulos que abordarán la segunda área de la inferencia estadística, que es la prueba de hipótesis, en la que se genera una afirmación específica o hipótesis sobre un parámetro de la población, y se utilizan estadísticas de la muestra para evaluar la probabilidad de que la hipótesis sea verdadera. La hipótesis se basa en la información disponible y en la creencia del investigador sobre los parámetros de la población. El proceso de comprobación de hipótesis implica el establecimiento de dos hipótesis contrapuestas, la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Se selecciona una muestra aleatoria (o múltiples muestras cuando hay más grupos de comparación), se calculan los estadísticos de resumen y se evalúa la probabilidad de que los datos de la muestra respalden la hipótesis de investigación o la alternativa. Al igual que la estimación, el proceso de comprobación de hipótesis se basa en la teoría de la probabilidad y en el teorema central del límite.
En la estimación nos centramos explícitamente en las técnicas para una y dos muestras y discutimos la estimación para un parámetro específico (por ejemplo, la media o la proporción de una población), para las diferencias (por ejemplo, la diferencia de medias, la diferencia de riesgo) y las proporciones (por ejemplo, el riesgo relativo y la razón de momios). Aquí nos centraremos en los procedimientos para una y dos muestras cuando el resultado es continuo (y nos centramos en las medias) o dicotómico (y nos centramos en las proporciones).
Proporción de la prueba de hipótesis
Un nuevo tratamiento para parabrisas afirma que repele el agua con mayor eficacia. Se prueban diez parabrisas simulando lluvia sin el nuevo tratamiento. A continuación, se tratan los mismos parabrisas y se vuelve a realizar el experimento. Se realiza una prueba de hipótesis.
La desviación estándar conocida del salario de todos los profesionales de nivel medio en la industria financiera es de 11.000 dólares. La empresa A y la empresa B pertenecen al sector financiero. Supongamos que se toman muestras de profesionales de nivel medio de la empresa A y de la empresa B. El salario medio muestral de los profesionales de nivel medio de la empresa A es de 80.000 dólares. El salario medio muestral de los profesionales de nivel medio de la empresa B es de 96.000 dólares. La dirección de la empresa A y la de la empresa B quieren saber si sus profesionales de nivel medio están pagados de forma diferente, por término medio.
Se cree que la nota media de una redacción de inglés en un determinado sistema escolar para las mujeres es más alta que para los hombres. Una muestra aleatoria de 31 mujeres tuvo una puntuación media de 82 con una desviación estándar de tres, y una muestra aleatoria de 25 hombres tuvo una puntuación media de 76 con una desviación estándar de cuatro.
