Notacion sigma ejercicios resueltos

Cómo resolver la suma

Como ya hemos dicho, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular delimitada por curvas. Este proceso suele requerir la suma de largas cadenas de números. Para facilitar la escritura de estas largas sumas, aquí veremos una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de suma). La letra griega mayúscula [latex]\Sigma[/latex], sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores de forma compacta. Por ejemplo, si queremos sumar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir

donde [latex]a_i[/latex] describe los términos a sumar, y la [latex]i[/latex] se llama índice. Se evalúa cada término y luego se suman todos los valores, empezando por el valor cuando [latex]i=1[/latex] y terminando por el valor cuando [latex]i=n[/latex]. Por ejemplo, una expresión como [latex]\displaystyle\sum_{i=2}^{7} s_i[/latex] se interpreta como [latex]s_2+s_3+s_4+s_5+s_6+s_7[/latex]. Obsérvese que el índice se utiliza sólo para llevar la cuenta de los términos que se van a sumar; no interviene en el cálculo de la suma en sí. Por tanto, el índice se denomina variable ficticia. Podemos utilizar la letra que queramos para el índice. Normalmente, los matemáticos utilizan [latex]i[/latex], [latex]j[/latex], [latex]k[/latex], [latex]m[/latex] y [latex]n[/latex] para los índices.

Cómo resolver la notación sigma

Explicación: De acuerdo con la notación del problema, se nos dice que debemos sumar los resultados obtenidos al evaluar la ecuación en cada número entero entre los números por debajo y por encima del sigma. Para la notación sigma de este problema en particular, esto significa que empezamos introduciendo el 1 en nuestra ecuación, y luego sumamos los resultados obtenidos al introducir el 2, y luego el 3, y luego el 4, deteniéndonos después de añadir el resultado obtenido al introducir el 5 en la ecuación, ya que éste es el número por encima de sigma en el que detenemos la suma. Este proceso se resuelve a continuación:

Tutores de Francés en Washington DC, Tutores de SSAT en Denver, Tutores de Lectura en San Francisco-Bay Area, Tutores de SAT en Houston, Tutores de Lectura en San Diego, Tutores de LSAT en San Francisco-Bay Area, Tutores de Álgebra en San Francisco-Bay Area, Tutores de MCAT en Miami, Tutores de Inglés en San Francisco-Bay Area

Cursos y Clases de GRE en Houston, Cursos y Clases de Español en Seattle, Cursos y Clases de MCAT en Denver, Cursos y Clases de SAT en Dallas Fort Worth, Cursos y Clases de MCAT en Phoenix, Cursos y Clases de ISEE en Denver, Cursos y Clases de MCAT en Atlanta, Cursos y Clases de GRE en San Francisco-Bay Area, Cursos y Clases de ISEE en Philadelphia, Cursos y Clases de SAT en Chicago

Ejemplos y soluciones de la notación Sigma

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

\ ~ [\begin{align*} {suma_limits_{i = 0}^4 {\frac{i}{{i + 1}} & = \frac{0}{0 + 1}} + \frac{1}{1 + 1}} + \frac{2}{2 + 1}} + \frac{3}{3 + 1}} + \frac{4}{4 + 1}} = \frac{163}{60}} = 2,7166{overline{6}}\frac{4}{6}{sum}{limits_i = 4}^6{2^i}{x^{2i + 1}} & = {2^4}{x^9} + {2^5}{x^{11}} + {2^6}{x^{13}} = 16{x^9} + 32{x^{11}} + 64{x^{13}} {suma de límites{i = 1}^4 {f\left( {x_i^*} \right)} & = f\left( {x_1^*} \right) + f\left( {x_2^*} \right) + f\left( {x_3^*} \right) + f\left( {x_4^*} \right)end{align*}]

Tenga en cuenta que empezamos la serie en \ ({i_{\}}) para denotar el hecho de que pueden comenzar en cualquier valor de \ (i\) que necesitamos. También hay que tener en cuenta que aunque podemos descomponer las sumas y las diferencias como hicimos en el punto 2, no podemos hacer lo mismo con los productos y los cocientes. En otras palabras,

Fórmulas Sigma

Para las preguntas 1 a 5, queremos que desarrolles una comprensión del modelo que estamos utilizando para definir una integral: aproximamos el área bajo una curva delimitándola entre rectángulos. Más adelante aprenderemos métodos de integración más sofisticados, pero todos se basan en este sencillo concepto.

Las preguntas 11 a 15 pretenden que practiques la interpretación de las fórmulas de la definición 1.1.11. Las fórmulas pueden parecer complicadas al principio, pero si entiendes lo que significa cada pieza, son fáciles de aprender.

Pongamos un ejemplo de una función \(f(x)\text{,}\} un intervalo \([a,b]\text{,}\}) y un número \(n\) tal que la suma de Riemann del punto medio de \(f(x)\} sobre \([a, b]\N utilizando los intervalos \N de n, es mayor que las sumas de Riemann de la izquierda y de la derecha de \Nf(x)\Nsobre \N[a,b]\Nque utilizando los intervalos \Nde n.

En la imagen de abajo, dibujar en los rectángulos cuya área (con signo) está siendo calculada por la suma de Riemann del punto medio \(\displaystyle\sum_{i=1}^4 \dfrac{b-a}{4}\cdot f\left(a+\left(i-\frac{1}{2}\right)\dfrac{b-a}{4}\right)\text{.}\cdot)