Definir el momento de inercia
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Cuando tratamos con objetos distribuidos como una lámina, o un sólido, necesitamos calcular la contribución de cada pieza infinitesimal de masa \(dm\) al momento de inercia total \(I.\) Esto puede hacerse mediante integración. En el caso general, encontrar el momento de inercia requiere una integración doble o triple. Sin embargo, en algunos casos especiales, el problema puede resolverse mediante integrales simples.
Supongamos que una lámina plana está limitada por las curvas \(y = f\left( x \right)\) y \(y = g\left( x \right)\) en el intervalo \(\left[ {a,b} \right].\N-Supongamos que la lámina está girada sobre el eje \(y-\).
Del mismo modo, podemos considerar una región del tipo \(II,\) limitada por las curvas \(x = f\left( y \right),\) \Si la densidad de dicha región sólo depende de la variable \(y,\) que es \rho = \rho \left( y \right),\) entonces el momento de inercia \\\nde la lámina puede ser expresado por la integral simple
Supongamos que un objeto gira en torno a un eje que pasa por el centro de gravedad del objeto y tiene el momento de inercia \({I_C}.\) Entonces el momento de inercia \(I\) en torno a cualquier otro eje de rotación, que es paralelo al eje inicial viene dado por el teorema del eje paralelo (también conocido como teorema de Huygens-Steiner):
Problemas de momento de inercia y soluciones estáticas
En el apartado anterior hemos definido el momento de inercia, pero no hemos mostrado cómo calcularlo. En esta sección, mostramos cómo calcular el momento de inercia para varios tipos de objetos estándar, así como cómo utilizar los momentos de inercia conocidos para encontrar el momento de inercia para un eje desplazado o para un objeto compuesto. Esta sección es muy útil para ver cómo aplicar una ecuación general a objetos complejos (una habilidad que es crítica para cursos de física e ingeniería más avanzados).
Definimos el momento de inercia I de un objeto como I=∑imiri2I=∑imiri2 para todas las masas puntuales que componen el objeto. Como r es la distancia al eje de rotación de cada pieza de masa que compone el objeto, el momento de inercia de cualquier objeto depende del eje elegido. Para ver esto, tomemos un ejemplo sencillo de dos masas en el extremo de una varilla sin masa (masa insignificante) (figura 10.23) y calculemos el momento de inercia sobre dos ejes diferentes. En este caso, la suma sobre las masas es sencilla porque las dos masas en el extremo de la barra se pueden aproximar como masas puntuales y, por tanto, la suma sólo tiene dos términos.
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En la sección anterior, definimos el momento de inercia pero no mostramos cómo calcularlo. En esta sección, mostramos cómo calcular el momento de inercia para varios tipos de objetos estándar, así como cómo utilizar los momentos de inercia conocidos para encontrar el momento de inercia para un eje desplazado o para un objeto compuesto. Esta sección es muy útil para ver cómo aplicar una ecuación general a objetos complejos (una habilidad que es crítica para cursos de física e ingeniería más avanzados).
Definimos el momento de inercia I de un objeto como [latex]I=suma _{i}{m}_{i}{r}_{i}^{2}[/latex] para todas las masas puntuales que componen el objeto. Como r es la distancia al eje de rotación de cada pieza de masa que compone el objeto, el momento de inercia de cualquier objeto depende del eje elegido. Para ver esto, tomemos un ejemplo sencillo de dos masas en el extremo de una varilla sin masa (masa insignificante) (Figura) y calculemos el momento de inercia sobre dos ejes diferentes. En este caso, la suma sobre las masas es sencilla porque las dos masas en el extremo de la barra pueden aproximarse como masas puntuales y, por tanto, la suma sólo tiene dos términos.
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El procedimiento consiste en dividir la forma compleja en sus subformas y, a continuación, utilizar las fórmulas del momento de inercia centroidal del apartado 10.3.2, junto con el teorema del eje paralelo (10.3.1) para calcular los momentos de inercia de las partes y, finalmente, combinarlos para hallar el momento de inercia de la forma original.
Para una forma compuesta formada por \(n\) subpartes, el momento de inercia de la forma completa es la suma de los momentos de inercia de las partes individuales, sin embargo el momento de inercia de cualquier agujero se resta del total de las áreas positivas.
Los momentos de inercia siempre se calculan con respecto a un eje específico, por lo que los momentos de inercia de todas las subformas deben calcularse con respecto a este mismo eje, lo que normalmente implicará la aplicación del teorema del eje paralelo.
Se tienen tres vigas de madera de 2(\ft{24}\️) de longitud y se quiere clavarlas para hacer una viga lo más rígida posible. La rigidez de una viga es proporcional al momento de inercia de la sección transversal de la viga en torno a un eje horizontal que pasa por su centroide. Las dimensiones reales de la madera nominal de 2(\times)6 son (\inch{1,5}) por (\inch{5,5}\text{.})
