Ley de senos ejercicios resueltos

Problemas de práctica de la ley de los senos con respuestas

donde A, B y C son los ángulos opuestos a a, b y c, respectivamente. Sólo tienes que utilizar el par de razones correspondiente y recordar que, al trabajar con proporciones, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Pete gestiona los faros de tres islas: Aurora’s Alluvia, Bruce’s Bluff y Clark’s Cliff. Pete, el farero, se da cuenta de que uno de los tres faros que gestiona acaba de apagarse. Pete debe actuar con rapidez antes de que se produzca el desastre, pero es lento porque la niebla es tan espesa como la sopa de guisantes. ¿Cómo va a encontrar el faro entre tanta niebla? No se preocupe. Pete puede utilizar la ley de los senos y cosenos para resolver ángulos desconocidos.

Para calcular el ángulo de un triángulo no recto cuando conoces todos los lados, o sólo dos lados y un ángulo, puedes utilizar la Ley de los Cosenos. Como Pete conoce las distancias entre los tres faros. Sólo tiene que calcular el ángulo desconocido, y luego fijar el rumbo de su barco.

Repasemos las fórmulas. Para que estas fórmulas sean más fáciles de memorizar, fíjate en el patrón: es similar al Teorema de Pitágoras con algunos extras. Echemos un vistazo. ¿Te resulta familiar la primera parte de la ecuación? Debería, es el Teorema de Pitágoras. ¿Notas un patrón? Así es. Todo lo que tenemos que hacer para obtener la Ley de los Cosenos es restar a nuestro Teorema de Pitágoras original el producto del coseno del ángulo opuesto al lado que estás tratando de encontrar y 2 veces el producto de los lados restantes.

Resolver un triángulo con la calculadora de la ley de los senos

Supongamos que dos estaciones de radar situadas a 20 millas de distancia detectan un avión entre ellas. El ángulo de elevación medido por la primera estación es de 35 grados, mientras que el ángulo de elevación medido por la segunda estación es de 15 grados. ¿Cómo podemos determinar la altitud de la aeronave? En la figura 1 vemos que el triángulo formado por la aeronave y las dos estaciones no es un triángulo rectángulo, por lo que no podemos utilizar lo que sabemos sobre triángulos rectángulos. En este apartado veremos cómo resolver problemas de triángulos no rectos.

Uso de la ley de los senos para resolver triángulos oblicuosEn cualquier triángulo, podemos trazar una altitud, una línea perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, formando dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible disponer de métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectos sin tener que crear primero triángulos rectos.

Cualquier triángulo que no sea recto es un triángulo oblicuo. Resolver un triángulo oblicuo significa encontrar las medidas de los tres ángulos y los tres lados. Para ello, tenemos que empezar con al menos tres de estos valores, incluyendo al menos uno de los lados. Investigaremos tres posibles situaciones de problemas de triángulos oblicuos:

Hoja de trabajo para resolver triángulos con la ley de los senos

Consideremos un triángulo oblicuo arbitrario \(\triángulo ABC\) con los lados \(a,b,c\) y los ángulos \(\alpha, \beta, \gamma. \El ángulo \(\beta\) puede ser agudo como en la figura \(2,\) u obtuso como en la figura \(3.\) En cada caso, dibujar la altitud \(CD = h\) desde el vértice \(C\) a la base \(AB = c.\N-)

Consideremos de nuevo dos casos, según que el centro de la circunferencia \(O\) esté dentro del triángulo (Figura \(4\)), o fuera del triángulo (Figura \(5\)). En cada caso, dibuja el diámetro \(BM\) de la circunferencia.

Usando las propiedades de los ángulos en una circunferencia, vemos que el \(\ángulo BCM\) es un ángulo recto, y el ángulo \(\ángulo CMB\) es o bien igual a \(\alfa,\) como en la Figura \(4,\) o es igual a \(\pi – \alfa,\) como en la Figura \(5.). \Dado que en cada caso se obtiene

Ley de los cosenos

La ley de los senos es una relación entre los ángulos y los lados de un triángulo. Al resolver un triángulo, la ley de los senos puede utilizarse eficazmente en las siguientes situaciones :(i) Para encontrar un ángulo si se dan dos lados y un ángulo que no está incluido, por ellos.(ii) Para encontrar un lado, si se dan dos ángulos y un lado que es opuesto a uno de los ángulos dados.Teorema (Ley de los senos) :En cualquier

2. La Ley de los Senos dice que los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.3. Usando la Ley de los Senos, es imposible encontrar la solución de un triángulo dados dos lados y el ángulo incluido.4. Una consecuencia geométrica interesante de la Ley de los Senos es que el lado mayor de cualquier triángulo es opuesto al ángulo mayor.

En (1), sustituye ∠B = 60° y ∠C = 45° y resuelve para ∠A.2 ∠B = ∠A + ∠C2(60°) = ∠A + 45°120° = ∠A + 45°75° = ∠AProblema 4 :Si en un triángulo ABC, ∠A = 45°, ∠B = 60° y ∠C = 75°, halla la razón de sus lados. Solución :Ley de los senos :a/sinA = b/sinB = c/sinCa/sin45° = b/sin60° = c/sin75°Deja que a/sin45° = b/sin60° = c/sin75° = k