Derivación de la ley de Ampere
Contenido
Un largo cable conductor de corriente pasa por el centro de un solenoide ideal; encuentre la fuerza magnética sobre el cable debida al solenoide y encuentre la velocidad de una partícula dentro del solenoide que no siente el campo del cable. La solución se incluye después del problema.
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Indique la ley de ampere y escriba su ecuación
Jdv_times r}{|r|^3}=\frac{{mu_0}{4\pi}\int_V \frac{4\pi r² d\Omega dr J\times r}{|r|^3}=\mu_0\int_V \frac{J\times u_r r³ d\mega dr }{|r|^3}=\mu_0\int_V J\times u_r d\mega dr$
=\nmomento{caso} [-\frac{y,I}{2},{a}^2},{sqrt{a la izquierda( R+x\right) }^{2}+{y}^{2}},\frac{I}{a la izquierda( R+x\right) }{2},{\pi}{a}^2},{sqrt{a la izquierda( R+x\right) }^{2}+{y}^2},0] &\mbox{si} \sqrt{(R+x)^2+y^2}-R)^2+z^2 \le a^2 \\sqrt
1 &\mbox{si} {\left( \sqrt{{left( R+\mathrm{cos}left( \alpha\right) \\mathrm{sin}left( \beta\right) \\\ r\right) }^{2}+{\mathrm{cos}left( \alpha\right) }^{2}, {\mathrm{cos}izquierda( \beta\\right) }^{2},{r}^{2}-R\right) }^{2}+{\mathrm{sin}izquierda( \alpha\right) }^{2},{r}^{2}<{a}^{2} \\
Ejemplos de la ley de Ampere
¿Cuánta corriente se necesita para producir un campo magnético significativo, quizás tan fuerte como el campo de la Tierra? Los topógrafos le dirán que las líneas eléctricas aéreas crean campos magnéticos que interfieren en las lecturas de su brújula. De hecho, cuando Oersted descubrió en 1820 que una corriente en un cable afectaba a la aguja de la brújula, no se trataba de corrientes extremadamente grandes. ¿Cómo afecta la forma de los cables que llevan corriente a la forma del campo magnético creado? Antes hemos observado que un bucle de corriente creaba un campo magnético similar al de una barra magnética, pero ¿qué ocurre con un cable recto o un toroide (donut)? ¿Cómo se relaciona la dirección de un campo creado por la corriente con la dirección de la misma? Las respuestas a estas preguntas se exploran en esta sección, junto con una breve discusión de la ley que rige los campos creados por las corrientes.
Los campos magnéticos tienen tanto dirección como magnitud. Como se ha señalado anteriormente, una forma de explorar la dirección de un campo magnético es con brújulas, como se muestra para un cable largo y recto portador de corriente en (Figura). Las sondas Hall pueden determinar la magnitud del campo. El campo alrededor de un cable largo y recto se encuentra en bucles circulares. La regla de la mano derecha 2 (RHR-2) surge de esta exploración y es válida para cualquier segmento de corriente: apunte el pulgar en la dirección de la corriente y los dedos se curvan en la dirección de los bucles del campo magnético creados por ella.
Calculadora de la ley de Ampere
La Ley de Ampere es similar a la Ley de Gauss, ya que nos permite determinar (analíticamente) el campo magnético que produce una corriente eléctrica en configuraciones que tienen un alto grado de simetría. La Ley de Ampere dice
donde la integral de la izquierda es una «integral de trayectoria», similar a la forma en que calculamos el trabajo realizado por una fuerza en una trayectoria determinada. El signo de círculo en la integral significa que se trata de una integral sobre una trayectoria «cerrada»; una trayectoria en la que los puntos inicial y final son los mismos. \ (I^{enc}\) es la corriente neta que atraviesa la superficie definida por la trayectoria cerrada, a menudo llamada la «corriente encerrada» por la trayectoria. Esto es diferente de la Ley de Gauss, donde la integral es sobre una superficie cerrada (no una trayectoria cerrada, como lo es aquí). En el contexto de la Ley de Gauss, nos referimos a «calcular el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada»; en el contexto de la Ley de Ampere, nos referimos a «calcular la circulación del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada».
Consideremos un alambre recto de longitud infinita, que transporta corriente, \(I\), fuera de la página, como se ilustra en la figura \(\PageIndex{1}\). El campo magnético del cable debe tener el mismo aspecto independientemente del ángulo desde el que veamos el cable («simetría azimutal»). Por lo tanto, el campo magnético debe formar círculos concéntricos alrededor del alambre (que sabemos que es el caso de la Ley de Biot-Savart) o debe estar en la dirección radial (apuntando hacia o lejos del alambre). Estas dos posibilidades se ilustran en la Figura \(\PageIndex{1}), y vamos a pretender, por ahora, que no sabemos cuál es la correcta.
