Calcula las siguientes integrales utilizando las pautas para integrar potencias de funciones trigonométricas. Utiliza un CAS para comprobar las soluciones. (Nota: Algunos de los problemas pueden realizarse utilizando las técnicas de integración aprendidas anteriormente).
Para los ejercicios 53 – 54, utilice esta información: El producto interior de dos funciones \(f\) y \(g\) sobre \([a,b]\) está definido por \(\displaystyle f(x)⋅g(x)=⟨f,g⟩=∫^b_af⋅g\,dx.\) Se dice que dos funciones distintas \(f\) y \(g\) son ortogonales si \(⟨f,g⟩=0.\N-)
En esta sección veremos cómo integrar una variedad de productos de funciones trigonométricas. Estas integrales se llaman integrales trigonométricas. Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica, que aparece en Sustitución trigonométrica. Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que quizá no podamos integrar en expresiones que implican funciones trigonométricas, que podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen con frecuencia cuando estudiamos más adelante los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Comencemos nuestro estudio con los productos de sinxsinx y cosx.cosx.
Una idea clave detrás de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de sinxsinx y cosxcosx implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma ∫sinjxcosxdx∫sinjxcosxdx o ∫cosjxsinxdx.∫cosjxsinxdx. Después de reescribir estas integrales, las evaluamos utilizando la sustitución en u. Antes de describir el proceso general en detalle, veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplos resueltos integración de funciones trigonométricas pdf
En esta sección nos centramos en las integrales que dan lugar a funciones trigonométricas inversas. Ya hemos trabajado con estas funciones. Recordemos de Funciones y Gráficas que las funciones trigonométricas no son uno a uno a menos que los dominios estén restringidos. Cuando trabajamos con inversas de funciones trigonométricas, siempre tenemos que tener cuidado de tener en cuenta estas restricciones. También en Derivadas, desarrollamos fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Las fórmulas desarrolladas allí dan lugar directamente a fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas.
Hay seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, en la regla sobre fórmulas de integración que dan lugar a funciones trigonométricas inversas sólo se anotan tres fórmulas de integración porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En lugar de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorice -1 y evalúe la integral utilizando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinamos una fórmula más: la integral que resulta de la función tangente inversa.
Soluciones de problemas de integrales trigonométricas
Las integrales trigonométricas pueden dar miedo. Hay muchas identidades trigonométricas entre las que elegir. Por eso he creado esta página. Aquí resolveremos montones de ejemplos.Para dominar las integrales trigonométricas necesitarás conocer las derivadas de las funciones trigonométricas y algunas identidades.¿Tienes alguna pregunta o duda sobre este tema? ¿Un «problema imposible»? Resolveremos los siguientes casos:
Hay algunas integrales trigonométricas que simplemente no entran en ninguno de los casos anteriores. Para resolver estas integrales sólo podemos utilizar las identidades trigonométricas y el ingenio.Como ejemplo, digamos que queremos encontrar la integral:
En primer lugar trabajaremos sobre el denominador. Intentaremos encontrar una identidad trigonométrica que lo sustituya. Si te fijas bien, se parece un poco a un cuadrado perfecto.Así que utilizaremos el truco más antiguo del mundo: sumaremos y restaremos el siguiente término:
Y esta expresión puede ser mucho más útil para resolver la integral. Fíjate que hasta ahora, todo era simple trigonometría. Después de estos heroicos cálculos trigonométricos, por fin estamos preparados para sustituirla en nuestra integral:
