Ejemplos de estimación de parámetros con soluciones
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Supongamos que tenemos un parámetro poblacional desconocido, como una media poblacional \(\mu\) o una proporción poblacional \(p\), que nos gustaría estimar. Por ejemplo, supongamos que nos interesa estimar:
En cualquier caso, no podemos encuestar a toda la población. Es decir, no podemos encuestar a todos los estudiantes universitarios estadounidenses de entre 18 y 24 años. Tampoco podemos encuestar a todos los pacientes con la enfermedad de Alzheimer. Así que, por supuesto, hacemos lo que es natural y tomamos una muestra aleatoria de la población, y utilizamos los datos resultantes para estimar el valor del parámetro de la población. Por supuesto, queremos que la estimación sea «buena» de alguna manera.
En esta lección, aprenderemos dos métodos, a saber, el método de máxima verosimilitud y el método de los momentos, para derivar fórmulas de estimaciones puntuales «buenas» para los parámetros de la población. También aprenderemos una forma de evaluar si una estimación puntual es «buena». Para ello, definiremos qué significa que una estimación sea insesgada.
Estimación puntual y estimación por intervalos ppt
Ejercicio 14.1 (Casella y Berger 7.1) Se toma una observación sobre una variable aleatoria discreta \(X\) con f.m.p. \(f(x|\theta)\), donde \(\theta={1,2,3\}\). Encuentre el MLE de \(\theta\). La f.m.p. se muestra a continuación.
Así, cuando \(n\) es pequeño, preferimos \(\hat{\theta}_{MM}\) porque es insesgado. Mientras que a medida que \(n\) se hace más grande, el sesgo de \hat{\theta}_{MLE}} disminuye y su varianza es mucho menor, en ese caso preferiríamos \hat{\theta}_{MLE}}.
Para obtener la varianza, observe que por la transformación de la variable, \(Y_i=-\log(X_i)\Ntiene una distribución exponencial con parámetro \(\theta\). Por lo tanto, \(-\sum_{i=1}^n\log(X_i)\sim Gamma(n,\theta)\). Por lo tanto, denotando \(T=-\sum_{i=1}^n\log(X_i)\Ntenemos \hat{\theta}=\frac{n}{T}\Ny
Poniendo esto a 0 tenemos que \(\sum_{i=1}^n(\frac{x_i}{\mu}-1)=0\) lo que implica \hat{\mu}=\bar{X}\). Introduciendo esto en (14.30) y maximizando con respecto a \(\lambda\), con la forma \(\lambda^{n/2}e^{-\lambda b}\) donde \(b=suma_{i=1}^n\frac{{x_i-\bar{x})^2}{2\bar{x}^2x_i}) y maximizar da \(\hat{\lambda}=\frac{n}{2b}\) donde
Preguntas y respuestas sobre la estimación de intervalos
Dado: n = 169, = 1350 horas, s = 100 horas, ya que el nivel de significación es (100-90)% =10% por lo que a es 0,1, por lo que el valor significativo al 10% es Za/2 = 1,645Por lo tanto, los límites de confianza del 90% para la media de la población sonPor lo tanto, el tiempo medio de vida de la luz
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Estimación puntual y por intervalos pdf
Un elemento de seguridad en algunas páginas web son las representaciones gráficas de palabras que son legibles por los seres humanos pero no por las máquinas. Cuando se probó un determinado formato de diseño en \(450\) sujetos, haciéndoles intentar leer diez palabras disfrazadas, \(448\) sujetos pudieron leer todas las palabras.
En una determinada región, los productos preenvasados etiquetados con \(500\) g deben contener una media de \(500\) gramos de producto, y al menos \(90\%\) de todos los envases deben pesar al menos \(490\) gramos. En una muestra aleatoria de 300 envases, 288 pesaban al menos 490 gramos.
En una encuesta realizada a 50 adultos seleccionados al azar en una pequeña ciudad, se les preguntó su opinión sobre una propuesta de restricción de la circulación nocturna. Las respuestas se codificaron en 1 para los que estaban a favor, 0 para los indiferentes y 2 para los que se oponían, y los resultados se muestran en la tabla. 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2\\\N- 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0\N- 0 & 2 & 1\N- 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1\N- 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 0\N- 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2\N-end{matrix}\N-]
