Ejercicios límite
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El concepto de límite o proceso de limitación, esencial para la comprensión del cálculo, existe desde hace miles de años. De hecho, los primeros matemáticos utilizaban un proceso de limitación para obtener aproximaciones cada vez mejores de las áreas de los círculos. Sin embargo, la definición formal de límite -tal y como la conocemos y entendemos hoy- no apareció hasta finales del siglo XIX. Por lo tanto, comenzamos nuestra búsqueda para entender los límites, como hicieron nuestros antepasados matemáticos, utilizando un enfoque intuitivo. Al final de este capítulo, armados con una comprensión conceptual de los límites, examinaremos la definición formal de un límite.
2 y x= -1 para x < 2. Hay círculos abiertos en ambos puntos extremos (2, 1) y (-2, 1). La tercera es h(x) = 1 / (x-2)^2, en la que la función se curva asintóticamente hacia y=0 y x=2 en los cuadrantes uno y dos.» width=»975″ height=»434″> Figura 1. Estas gráficas muestran el comportamiento de tres funciones diferentes en torno a .
Cada una de las tres funciones es indefinida en , pero si hacemos esta afirmación y ninguna otra, damos una imagen muy incompleta de cómo se comporta cada función en la vecindad de . Para expresar el comportamiento de cada gráfica en la vecindad de 2 de forma más completa, necesitamos introducir el concepto de límite.
Problemas de práctica de límites con gráficos
Al final de esta clase, deberás ser capaz de utilizar la gráfica de una función para encontrar los límites de un número de funciones diferentes, incluyendo los límites en el infinito, y determinar cuando los límites no existen (y cuando no existen, explicar por qué). También debes ser capaz de utilizar correctamente la notación de límite.
(Si f(x) nunca se aproxima a un valor finito específico a medida que x se aproxima a c, entonces decimos que el límite no existe. Si f(x) tiene límites diferentes a la derecha y a la izquierda, entonces el límite de dos lados (limx→cf(x)) no existe).
Esta definición es informal porque no hemos definido formalmente lo que queremos decir con «se aproxima» o «se acerca cada vez más». Una vez que hayamos desarrollado una sensación más intuitiva de lo que son realmente los límites, volveremos a definir formalmente estos términos.
La mejor manera de entender mejor lo que es un límite es empezar a mirar diferentes funciones y discutir cuál podría ser el límite para valores x específicos de esa función. Pero antes de hacer eso, introducimos brevemente una definición que usaremos en los ejemplos que siguen. A lo largo de esta clase, usaremos a menudo la palabra discontinuidad, así que la definiremos (al menos informalmente, por ahora) aquí:
Preguntas y respuestas sobre el límite unilateral
Hemos mostrado cómo utilizar las derivadas primera y segunda de una función para describir la forma de una gráfica. Para graficar una función definida en un dominio no limitado, también necesitamos conocer el comportamiento de como En esta sección, definimos los límites en el infinito y mostramos cómo estos límites afectan a la gráfica de una función. Al final de esta sección, esbozamos una estrategia para graficar una función arbitraria
Comenzamos examinando qué significa que una función tenga un límite finito en el infinito. Luego estudiamos la idea de una función con un límite infinito en el infinito. Ya en Introducción a las funciones y las gráficas vimos las asíntotas verticales; en esta sección tratamos las asíntotas horizontales y oblicuas.
Recordemos que la media se acerca arbitrariamente a siempre que esté suficientemente cerca de Podemos extender esta idea a los límites en el infinito. Por ejemplo, consideremos la función Como se puede ver gráficamente en (Figura) y numéricamente en (Figura), a medida que los valores de se hacen mayores, los valores de se acercan a 2. Decimos que el límite a medida que se acerca a de es 2 y escribimos Análogamente, pues a medida que los valores de se hacen mayores, los valores de se acercan a 2. Decimos que el límite a medida que se acerca a de es 2 y escribimos
Encontrar los límites de una gráfica práctica pdf
Intuitivamente, sabemos qué es un límite. Un coche sólo puede ir a cierta velocidad y no más. Un cubo de basura puede contener 33 galones y no más. Es natural que las cantidades medidas tengan límites. ¿Cuál es, por ejemplo, el límite de la altura de una mujer? La mujer más alta de la que se tiene constancia fue Jinlian Zeng, de China, que medía 2,5 metros.1 ¿Es éste el límite de la altura que pueden alcanzar las mujeres? Tal vez no, pero es probable que haya un límite que podríamos describir en pulgadas si fuéramos capaces de determinar cuál es.
Por decirlo de forma matemática, la función cuya entrada es una mujer y cuya salida es una altura medida en pulgadas tiene un límite. En esta sección, examinaremos enfoques numéricos y gráficos para identificar los límites.
se acerca cada vez más a 0. Una secuencia es un tipo de función, pero las funciones que no son secuencias también pueden tener límites. Podemos describir el comportamiento de la función a medida que los valores de entrada se acercan a un valor específico. Si el límite de una función \(f(x)=L\), entonces a medida que la entrada \(x\) se acerca cada vez más a \(a\), la coordenada y de salida se acerca cada vez más a \(L\). Decimos que la salida «se acerca» a \(L\).
