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Tales de Mileto (circa 625-547 a.C.) es conocido como el fundador de la geometría. Según la leyenda, calculó la altura de la Gran Pirámide de Guiza en Egipto utilizando la teoría de los triángulos semejantes, que desarrolló midiendo la sombra de su bastón. Basada en las proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en varios ámbitos, como la geometría fractal, la ingeniería y la arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran utilizando triángulos semejantes.
En secciones anteriores de este capítulo, hemos visto las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores del dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de las ecuaciones trigonométricas para estudiar escenarios del mundo real, como la búsqueda de las dimensiones de las pirámides.
Las ecuaciones trigonométricas son, como su nombre indica, ecuaciones que implican funciones trigonométricas. Son similares, en muchos aspectos, a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, pero sólo se encontrarán soluciones a determinados valores de la variable, si es que hay soluciones. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo específico. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que encontremos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener un número infinito de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que considerar el dominio de la función antes de suponer que cualquier solución es válida. El período de la función seno y de la función coseno es
Problemas y soluciones de seno, coseno tangente
Para cualquier triángulo rectángulo, dados otro ángulo y la longitud de un lado, podemos averiguar cuáles son los otros ángulos y lados. Pero, ¿qué ocurre si nos dan sólo dos lados de un triángulo rectángulo? Necesitamos un procedimiento que nos lleve de una relación de lados a un ángulo. Aquí es donde entra en juego la noción de inversa de una función trigonométrica. En esta sección, exploraremos las funciones trigonométricas inversas.
Para utilizar las funciones trigonométricas inversas, debemos entender que una función trigonométrica inversa «deshace» lo que la función trigonométrica original «hace», como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la Figura \(\PageIndex{1}\).
Por ejemplo, si \(f(x)=\Nsin\Nespacio x\), entonces escribiríamos \(f^{-1}(x)={\Nsin}^{-1}x\). Hay que tener en cuenta que \({\sin}^{-1}x\) no significa \(dfrac{1}{\sin\space x}\). Los siguientes ejemplos ilustran las funciones trigonométricas inversas:
Sin, cos tan table
62) Un CD tiene un diámetro de \(120\) milímetros. Cuando se reproduce el audio, la velocidad angular varía para mantener constante la velocidad lineal donde se lee el disco. Cuando se lee a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular es de aproximadamente \(200\) RPM (revoluciones por minuto). Encuentra la velocidad lineal.
63) Cuando se graba en una unidad de CD-R grabable, la velocidad angular de un CD suele ser mucho más rápida que cuando se reproduce audio, pero la velocidad angular sigue variando para mantener constante la velocidad lineal donde se está escribiendo el disco. Cuando se escribe a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular de una unidad es de aproximadamente \(4800\) RPM (revoluciones por minuto). Encuentra la velocidad lineal si el CD tiene un diámetro de \(120\) milímetros.
68) Dos ciudades tienen la misma longitud. La latitud de la ciudad A es de \(9,00\) grados norte y la de la ciudad B es de \(30,00\) grados norte. Supongamos que el radio de la tierra es de \(3960\) millas. Encuentra la distancia entre las dos ciudades.
69) Una ciudad está situada a \(40\) grados de latitud norte. Supongamos que el radio de la tierra es de \(3960\) millas y que la tierra gira una vez cada \(24\) horas. Encuentra la velocidad lineal de una persona que reside en esta ciudad.
Ejemplos de funciones trigonométricas con solución pdf
Volvamos a la convención estándar para etiquetar las partes de un triángulo rectángulo. Dejemos que el ángulo recto se etiquete como C y la hipotenusa como c. Dejemos que A y B denoten los otros dos ángulos, y a y b los lados opuestos a ellos, respectivamente.
Veamos primero algunos casos en los que no conocemos todos los lados. Supongamos que no conocemos la hipotenusa pero sí los otros dos lados. El teorema de Pitágoras nos dará la hipotenusa. Por ejemplo, si a = 10 y b = 24, entonces c2 = a2 + b2 = 102 + 242 = 100 + 576 = 676. La raíz cuadrada de 676 es 26, así que c = 26. (Es bonito dar ejemplos en los que las raíces cuadradas salen números enteros; en la vida normalmente no lo hacen).
Supongamos ahora que conocemos la hipotenusa y un lado, pero tenemos que encontrar el otro. Por ejemplo, si b = 119 y c = 169, entonces a2 = c2 – b2 = 1692 – 1192 = 28561 – 14161 = 14400, y la raíz cuadrada de 14400 es 120, así que a = 120.
Es posible que sólo conozcamos un lado pero que también conozcamos un ángulo. Por ejemplo, si el lado a = 15 y el ángulo A = 41°, podemos utilizar un seno y una tangente para encontrar la hipotenusa y el otro lado. Como sin A = a/c, sabemos que c = a/sin A = 15/sin 41. Usando una calculadora, esto es 15/0,6561 = 22,864. Además, tan A = a/b, por lo que b = a/tan A = 15/tan 41 = 15/0,8693 = 17,256. El uso de un seno, coseno o tangente depende del lado y el ángulo que conozcas.
