Ejercicios integrales con soluciones
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Llegados a este punto, hemos visto cómo se calculan las derivadas de muchas funciones y se nos ha presentado una variedad de sus aplicaciones. Ahora nos planteamos una pregunta que da la vuelta a este proceso: Dada una función, ¿cómo encontramos una función con la derivada y por qué nos interesa dicha función?
Respondemos a la primera parte de esta pregunta definiendo las antiderivadas. La antiderivada de una función es una función con derivada ¿Por qué nos interesan las antiderivadas? La necesidad de las antiderivadas surge en muchas situaciones, y a lo largo del texto veremos varios ejemplos. Aquí examinamos un ejemplo específico que implica un movimiento rectilíneo. En nuestro examen en Derivadas del movimiento rectilíneo, mostramos que dada una función de posición de un objeto, entonces su función de velocidad es la derivada de -es decir, Además, la aceleración es la derivada de la velocidad -es decir, Ahora supongamos que se nos da una función de aceleración pero no la función de velocidad o la función de posición Ya que determinar la función de velocidad requiere que encontremos una antiderivada de la función de aceleración. Entonces, como la determinación de la función de posición requiere que encontremos una antiderivada de la función de velocidad. El movimiento rectilíneo es sólo un caso en el que surge la necesidad de antiderivadas. Veremos muchos más ejemplos a lo largo del resto del texto. Por ahora, veamos la terminología y la notación de las antiderivadas, y determinemos las antiderivadas de varios tipos de funciones. Examinaremos varias técnicas para encontrar antiderivadas de funciones más complicadas en el segundo volumen de este texto (Introducción a las técnicas de integración).
Ejercicios de integral definida
En esta sección nos centramos en la integral indefinida: su definición, las diferencias entre las integrales definidas e indefinidas, algunas reglas integrales básicas y cómo calcular una integral definida.
Recordemos la definición de antiderivada del apartado 1.1: Una función \(F\) es una antiderivada de \(f\) en un intervalo \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) para todo \(x\) en \(I\text{.}) Exploremos la antiderivada concretamente dejando \(f(x)=2x\text{.}) Entonces podemos determinar fácilmente que la antiderivada de \(f\) es la función \(F(x)=x^2\text{,}\}, es decir, \(F'(x)=f(x)\text{.}\}. Sin embargo, la función \(F(x)+1 = x^2+1\) también tiene como derivada \(f\):
No nos sorprende que las gráficas de la familia de funciones \(F(x)+C\) sean visualmente sólo desplazamientos verticales de \(F(x)\text{.}\} En el caso particular cuando \(F(x)=x^2\text{,}\) también podemos ver con las gráficas de la familia de funciones \(F(x)+C\) abajo que en cualquier punto \(x\) las rectas tangentes son paralelas, es decir, las pendientes de las tangentes son las mismas, es decir, la familia de funciones tiene la misma derivada \(f(x)=2x\text{,}\}
Ejercicios de integración por sustitución
Te sugiero encarecidamente que intentes primero estas integrales por ti mismo, y que luego utilices la solución para obtener pistas y ampliar tu propio repertorio de técnicas. En las soluciones, he intentado añadir una explicación un poco más detallada para ayudarte a entender cómo abordar las integrales difíciles.
Ten siempre presente que la integración y la diferenciación no son operaciones completamente inversas. Aunque, si estás aquí, deberías ser capaz de encontrar la derivada de cualquier función, no todas las funciones pueden integrarse analíticamente, es decir, sobre el papel. Algunas tienen que hacerse numéricamente usando sumas de Riemann o alguna otra técnica numérica. No es un camino de ida y vuelta.
En cambio, podemos completar el cuadrado del denominador. Primero lo hacemos igual a cero, luego completamos el cuadrado y volvemos a juntar todos los términos de la función en el lado izquierdo. Se ve así:
donde hemos hecho la integral fácil al final. Ahora la integral que queda es fácil de buscar, pero también es fácil de hacer, y otro ejemplo de cuándo es útil el reordenamiento usando identidades trigonométricas:
Practicar las integrales
El objetivo de la sustitución es facilitar el paso de integración. De hecho, el paso ∫F′(u)du=F(u)+C parece fácil, ya que la antiderivada de la derivada de F es simplemente F, más una constante. El «trabajo» que conlleva es hacer la sustitución adecuada. No hay que memorizar un proceso paso a paso, sino que la experiencia será tu guía. Para ganar experiencia, ahora nos embarcamos en muchos ejemplos.
SoluciónSabiendo que la sustitución está relacionada con la Regla de la Cadena, elegimos dejar que u sea la función «interior» de sen(x2+5). (No siempre es una buena elección, pero suele ser el mejor punto de partida).
Dejemos que u=x2+5, por lo que du=2xdx. El integrando tiene un término xdx, pero no un término 2xdx. (Recuerda que la multiplicación es conmutativa, así que la x no tiene que estar físicamente junto a dx para que haya un término xdx). Podemos dividir ambos lados de la expresión du entre 2:
SoluciónVuelve a dejar que u sustituya a la función «interior». Dejando u=5x, tenemos du=5dx. Como nuestro integrando no tiene un término 5dx, podemos dividir la ecuación anterior entre 5 para obtener 15du=dx. Ahora podemos sustituir.
