Ecuación de la recta perpendicular al plano
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Estoy tratando de crear una línea recta en el espacio cartesiano a partir de dos puntos que tienen coordenadas (x,y,z). Esto es para hacer que un brazo robótico se mueva en línea recta, yo introduciría dos puntos y las matemáticas me devolverían un cierto número de puntos que crean una línea recta desde el punto A al punto B. El brazo robótico se mueve sobre una base circular.
La ecuación que has dado, $ax+by+c=0$, es la ecuación de una línea en dos dimensiones. En tres dimensiones, puedes definir una línea por un punto y un vector. Esto no está en contradicción con la idea de que dos puntos determinan una recta, ya que obviamente hay un vector entre dos puntos y, por lo tanto, al especificar dos puntos también has especificado un punto y un vector. Todo esto es probablemente demasiado pedante para que merezca la pena seguir discutiendo, así que pasemos al ejemplo útil concreto.
Desgraciadamente, no creo que este tipo de ecuaciones te sirvan para tu proyecto de robot, pero quizá la discusión genere algunas buenas ideas. Puedes echar un vistazo a los Apuntes en línea de Paul para ver más discusiones sobre cómo se representan las líneas en tres dimensiones. Él no sigue exactamente el mismo enfoque que he esbozado aquí, pero es muy similar.
Ecuación de un plano que contiene una línea
Ya estamos familiarizados con la escritura de ecuaciones que describen una recta en dos dimensiones. Para escribir una ecuación de una recta, debemos conocer dos puntos de la misma, o bien conocer la dirección de la recta y al menos un punto por el que pasa la recta. En dos dimensiones, utilizamos el concepto de pendiente para describir la orientación, o dirección, de una recta. En tres dimensiones, describimos la dirección de una recta mediante un vector paralelo a la misma. En esta sección, examinaremos cómo utilizar las ecuaciones para describir líneas y planos en el espacio.
Al igualar componentes, la ecuación 2.11 muestra que las siguientes ecuaciones son verdaderas simultáneamente: x-x0=ta,x-x0=ta, y-y0=tb,y-y0=tb, y z-z0=tc.z-z0=tc. Si resolvemos cada una de estas ecuaciones para las variables componentes x,y,yz,x,y,yz, obtenemos un conjunto de ecuaciones en las que cada variable está definida en términos del parámetro t y que, en conjunto, describen la recta. Este conjunto de tres ecuaciones forma un conjunto de ecuaciones paramétricas de una recta:
Las ecuaciones paramétricas de una recta no son únicas. Si se utiliza un vector paralelo diferente o un punto diferente de la recta, se obtiene una representación diferente y equivalente. Cada conjunto de ecuaciones paramétricas conduce a un conjunto relacionado de ecuaciones simétricas, por lo que se deduce que la ecuación simétrica de una recta tampoco es única.
Forma simétrica de una línea 3d
\N – Inicio \Flecha derecha \frac{{sin{alfa}}{cos{alfa}} = \frac{y{1}}{x{1}} \\ Flecha derecha: frac {x – {x_1}} {cosas {alfa}} = frac {y – {y_1}} {sin {alfa}} \\ Fin. \]
\N – [Inicio] \frac{{x – 2}} {{cos {{45}^ \circ }} = \frac{y – \sqrt 2 }} {{sin {{45}^ \circ }} \\ Flecha derecha -Sin 45^circ, izquierda (x – 2), derecha = Cosas 45^circ, izquierda (y – cuadrado 2), derecha. Izquierda ( {x – 2} \\N – derecha) = \frac{1} {{cuadrado 2 }} Izquierda ( {y – \cuadrado 2 } \N – derecha) \N – Flecha derecha x – y – 2 + \cuadrado 2 = 0 \N – fin. \]
Problemas y soluciones de líneas y planos vectoriales
\( \vecd{PQ} = \langle -2, 3, -3 \rangle\) es el vector de dirección de la recta que pasa por los puntos \(P\) y \(Q\), y el vector de dirección de la recta definida por las ecuaciones paramétricas anteriores es \(\vecs v = \langle 3, 8, 6 \rangle.\)
Resolviendo este sistema mediante sustitución obtenemos, \(u = -3\) y \(t = 3\). Introduciendo estos valores de \(t\) y \(u\) en las ecuaciones paramétricas de estas dos rectas nos da el punto de intersección con coordenadas \(\left(9, -8, 9\right)\) en ambas rectas.
51) Dos niños están jugando con una pelota. La niña lanza la pelota al niño. La pelota viaja en el aire, se curva \( 3\) pies hacia la derecha, y cae \( 5\) pies lejos de la niña (ver la siguiente figura). Si el plano que contiene la trayectoria de la pelota es perpendicular al suelo, encuentra su ecuación.
53) [T] Considera que \(\vecs r(t)=⟨sin t,\cos t,2t⟩\\Nel vector posición de una partícula en el tiempo \( t∈[0,3]\N), donde las componentes de \(\vecs r\Nse expresan en centímetros y el tiempo se mide en segundos. Sea \( \vecd{OP}\) el vector de posición de la partícula después de \( 1\) seg.
