Ecuación diferencial exacta ejercicios resueltos

Ejercicios de ecuaciones diferenciales con soluciones pdf

A estas alturas debes conocer bien el proceso de diferenciación total, es decir, sabes cómo tomar derivadas totales de una función en términos de una determinada variable, con respecto a esa variable. Pero dependiendo de nuestro nivel de estudios y de los temas que estemos trabajando, te encontrarás con funciones que están definidas en términos de más de una variable, e incluso a veces, una de estas variables es una función en términos de la otra. En estos casos, la diferenciación requerirá que trabajes con las derivadas de las distintas variables de diferentes maneras, dependiendo de la variable con la que estés diferenciando.

Para este tipo de funciones definidas en términos de múltiples variables, también se pueden tomar derivadas parciales. La diferenciación parcial significa que seleccionarás una de las variables en las que está definida la función, y diferenciarás sólo respecto a este valor particular tomando cualquier otra variable involucrada como si fuera una constante. Puede que ya estés familiarizado con este proceso (o quizás incluso sepas cómo resolver estas operaciones), por si acaso, haremos un repaso rápido para esta sección, para que las fórmulas y el proceso de ecuaciones exactas quede bien establecido más adelante.

Ecuaciones diferenciales exactas e inexactas

\v + xfrac {{dv}} {{dx}} = \frac{{ – 2v{x^2}}{{{x^2}} = \frac{ – 2v}}{{1 + 3{v^2}{x^2}} + 3{v^2}{x^2}} = \frac{{2v}}{1 + 3{v^2}}&\fecha derecha \frac{{dv}{dx}} = – v – \frac{2v}}{1 + 3{v^2}}\frac = \frac{{3v – 3{v^3}}{1 + 3{v^2}}\qqqquad;\qquad; = \frac{{3v(1 + {v^2}}}{1 + 3{v^2}}&\qqad \frac{1 + 3{v^2}}{v(1 + {v^2}}dv = – 3{frac{dx}} {x}end{align}}]

\N – Izquierda( {\frac{1 + 3t}}{1 + t}} \cdot \frac{1}{2t}} \cdot)dt = – 3\frac{{dx}}{x}\\N-flecha derecha \N-cuadrado( {\frac{1}{1 + t}} + \frac{1}{2t}} \N-derecha)dt = – 3\frac{{dx}}{x}end{align}]

\N – [\N – inicio{align}&\N -; \ln (1 + t) + \frac{1}{2}\ln t = – 3\ln x + \ln C\\& \Rightarrow \quad \sqrt t (1 + t){x^3} = C\&Rightarrow \quad v(1 + {v^2}){x^3} = C\&Rightarrow \quad y({x^2} + {y^2}) = Cend{align}]

\N – [\N – Inicio{align} & \qquad \N -frac{{parcial f}} {{parcial y}} = {x^2} + \phi ‘(y) = {x^2} + 3{y^2} {&\a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha \a la derecha + C’ & & & \ldots (2)\nd{align}]

Reducción a la ecuación diferencial exacta

donde \(y\) es la variable independiente y \(x\) es la variable dependiente. Dado que las soluciones de la ecuación \ref{ec:2.5.2} y de la ecuación \ref{ec:2.5.3} tendrán que dejarse a menudo en forma implícita, diremos que \(F(x,y)=c\c) es una solución implícita de la ecuación \ref{ec:2.5. 1} si toda función diferenciable \(y=y(x)\) que satisface \(F(x,y)=c\) es una solución de la Ecuación \ref{ec:2.5.2} y toda función diferenciable \(x=x(y)\) que satisface \(F(x,y)=c\) es una solución de la Ecuación \ref{ec:2.5.3}

desarrollaremos un método para resolver la Ecuación \ref{eq:2.5.1} bajo supuestos apropiados sobre \(M\) y \(N\). Este método es una extensión del método de separación de variables. Antes de exponerlo consideramos un ejemplo.

no tiene sentido, ya que inventar una ecuación diferencial que tenga una solución implícita dada no es especialmente interesante. Sin embargo, ilustra el siguiente teorema importante, que demostraremos utilizando la diferenciación implícita, como en el ejemplo 2.5.1

Para descubrir la respuesta a la pregunta 1, supongamos que hay una función \(F\) que satisface la ecuación \ref{eq:2.5.9} sobre algún rectángulo abierto \(R\), y además que \(F\) tiene derivadas parciales continuas mixtas \(F_{xy}\) y \(F_{yx}\). Entonces, un teorema de cálculo implica que \[\label{eq:2.5.10} F_{xy}=F_{yx}.\} Si \(F_x=M\) y \(F_y=N\), diferenciando la primera de estas ecuaciones con respecto a \(y\) y la segunda con respecto a \(x\) se obtiene

Resolver una ecuación diferencial de primer orden

Una ecuación diferencial de primer orden es aquella que contiene una primera derivada, pero no una derivada superior, de la función desconocida. Para prácticamente todas las ecuaciones de este tipo que se encuentran en la práctica, la solución general contendrá una constante arbitraria, es decir, un parámetro, por lo que una PIV de primer orden contendrá una condición inicial. No existe un método general que resuelva todas las ecuaciones de primer orden, pero sí hay métodos para resolver tipos particulares.

Una vez que se determina que una ecuación diferencial M dx + N dy = 0 es exacta, la única tarea que queda es encontrar la función f ( x, y) tal que f x = M y f y = N. El método es sencillo: Integrar M con respecto a x, integrar N con respecto a y, y luego «fusionar» las dos expresiones resultantes para construir la función f deseada.

está claro que M y ≠ N x , por lo que la Prueba de Exactitud dice que esta ecuación no es exacta. Es decir, no existe una función f ( x,y) cuya derivada respecto a x sea M ( x,y) = 3 xy – f 2 y que al mismo tiempo tenga como derivada respecto a y N ( x,y) = x ( x – y).