¿Qué pasa con la solución de una desigualdad? ¿Qué número haría que la desigualdad fuera cierta? ¿Estás pensando que «x podría ser 4»? Eso es correcto, pero x también podría ser 5, o 20, o incluso 3,001. Cualquier número mayor que 3 es una solución a la desigualdad.
Mostramos las soluciones de la desigualdad en la recta numérica sombreando todos los números a la derecha del 3, para mostrar que todos los números mayores que el 3 son soluciones. Como el propio número 3 no es una solución, ponemos un paréntesis abierto en el 3. La gráfica de se muestra en la (Figura). Obsérvese que se utiliza la siguiente convención: las flechas de color azul claro apuntan en la dirección positiva y las flechas de color azul oscuro apuntan en la dirección negativa.
También podemos representar las desigualdades utilizando la notación de intervalo. Como hemos visto anteriormente, la desigualdad significa todos los números mayores que 3. No hay un extremo superior para la solución de esta desigualdad. En notación de intervalo, expresamos como El símbolo se lee como ‘infinito’. No es un número real. (La figura muestra tanto la recta numérica como la notación de intervalo.
Problemas matemáticos con soluciones
(i) Resuelve primero ax2 + bx + c = 0.(ii) Si no hay soluciones reales, entonces una de las desigualdades anteriores es válida para todo x ∈ R.(iii) Si hay soluciones reales, que se llaman puntos críticos, rotula esos puntos en la recta numérica.(iv) Observa que esos puntos críticos dividen la recta numérica en intervalos disjuntos. (Es posible que sólo haya un punto crítico).(v) Elige un número representativo de cada intervalo.(vi) Sustituye esos números representativos en la desigualdad.(vii) Identifica los intervalos en los que se satisface la desigualdad.
Ejemplo 1 :Resuelve 2×2 + x – 15 ≤ 0.Solución :Primero resolvamos la ecuación cuadrática dada mediante factorización.2×2 + x – 15 = 02×2 + 6x – 5x – 15 = 02x(x + 3) – 5(x + 3) = 0(2x – 5) (x + 3) = 02x – 5 = 0 x + 3 = 02x = 5 x = -3x = 5/2Los números críticos son -3 y 5/2. Ahora vamos a marcarlos en la recta numérica.
A partir de la tabla anterior, llegamos a saber que el intervalo [-3, 5/2] satisface la desigualdad dada.Por lo tanto, la solución es [-3, 5/2].Ejemplo 2 :Resolver -x2 + 3x – 2 ≥ 0.Solución :Primero resolvamos la ecuación cuadrática dada mediante la factorización.El coeficiente de x debe ser positivo, por lo que tenemos que multiplicar la desigualdad por negativo. x2 – 3x + 2 ≤ 0Multiplicamos la ecuación por negativo.x2 – 3x + 2 = 0x2 – 1x – 2x + 2 = 0x (x – 1) – 2(x – 1) = 0(x – 2) (x – 1) = 0x – 2 = 0 x – 1 = 0x = 2 x = 1Escribiéndolos como intervalos, obtenemos(-∞, 1] [1, 2] [2, ∞)Aplicando cualquier valor dentro del intervalo, obtenemos
Solucionador de ecuaciones
La resolución de inecuaciones es muy similar a la resolución de ecuaciones, salvo que hay que invertir los símbolos de inecuación cuando se multiplican o dividen ambos lados de una inecuación por un número negativo. Hay tres formas de representar las soluciones de las inecuaciones: un intervalo, una gráfica y una inecuación. Como suele haber más de una solución a una inecuación, cuando compruebes tu respuesta, debes comprobar el punto final y otro valor para comprobar el sentido de la inecuación. Cuando trabajamos con desigualdades, normalmente podemos tratarlas de forma similar, aunque no exactamente, a las ecuaciones. Podemos utilizar la propiedad de la suma y la propiedad de la multiplicación para ayudarnos a resolverlas. La única excepción es cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo; al hacerlo se invierte el símbolo de la desigualdad.
Cuando resolvemos ecuaciones podemos necesitar sumar o restar para aislar la variable, lo mismo ocurre con las inecuaciones. No hay comportamientos especiales a los que haya que prestar atención cuando se utiliza la propiedad de la suma para resolver inecuaciones.
Resolución de inecuaciones lineales en una variable
Una ecuación129 es un enunciado que indica que dos expresiones algebraicas son iguales. Una ecuación lineal con una variable130, \(x\), es una ecuación que puede escribirse en la forma estándar \(ax + b = 0\) donde \(a\) y \(b\) son números reales y \(a ≠ 0\). Por ejemplo
Una solución131 de una ecuación lineal es cualquier valor que puede sustituir a la variable para producir un enunciado verdadero. La variable en la ecuación lineal \(3x – 12 = 0\) es \(x\) y la solución es \(x = 4\). Para comprobarlo, sustituya el valor \(4\) por \(x\) y compruebe que obtiene un enunciado verdadero.
Alternativamente, cuando una ecuación es igual a una constante, podemos verificar una solución sustituyendo el valor en por la variable y mostrando que el resultado es igual a esa constante. En este sentido, decimos que las soluciones «satisfacen la ecuación».
Recordemos que cuando se evalúan expresiones, es una buena práctica sustituir primero todas las variables por paréntesis, y luego sustituir los valores apropiados. Al hacer uso de los paréntesis, evitamos algunos errores comunes al trabajar el orden de las operaciones.
