Ejercicios de reglas de productos
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Encontrar derivadas de funciones utilizando la definición de la derivada puede ser un proceso largo y, para ciertas funciones, bastante difícil. Por ejemplo, anteriormente encontramos que utilizando un proceso que implicaba multiplicar una expresión por un conjugado antes de evaluar un límite. El proceso que podríamos utilizar para evaluar utilizando la definición, aunque es similar, es más complicado. En esta sección, desarrollamos las reglas para encontrar las derivadas que nos permiten evitar este proceso. Comenzamos con lo básico.
Las funciones y donde es un entero positivo son los bloques de construcción a partir de los cuales se construyen todos los polinomios y funciones racionales. Para encontrar derivadas de polinomios y funciones racionales de forma eficiente sin recurrir a la definición de límite de la derivada, primero debemos desarrollar fórmulas para diferenciar estas funciones básicas.
La regla para diferenciar funciones constantes se llama regla de la constante. Afirma que la derivada de una función constante es cero; es decir, como una función constante es una recta horizontal, la pendiente, o la tasa de cambio, de una función constante es 0. Replanteamos esta regla en el siguiente teorema.
Ejemplos de la regla del producto y del cociente
La regla del cociente en cálculo es un método para encontrar la derivada o diferenciación de una función dada en forma de cociente o división de dos funciones diferenciables. Es decir, podemos aplicar la regla del cociente cuando tenemos que encontrar la derivada de una función de la forma: f(x)/g(x), tal que tanto f(x) como g(x) son diferenciables, y g(x) ≠ 0. La regla del cociente sigue directamente la regla del producto y el concepto de límites de la derivación en la diferenciación. Entendamos la fórmula de la regla del cociente, su demostración mediante ejemplos resueltos en detalle en las siguientes secciones.
La regla del cociente en cálculo es un método utilizado para encontrar la derivada de cualquier función dada en forma de cociente obtenida del resultado de la división de dos funciones diferenciables. La regla del cociente en palabras dice que la derivada de un cociente es igual al cociente del resultado obtenido en la resta del numerador por la derivada del denominador por la derivada del numerador al cuadrado del denominador. Esto significa que si nos dan una función de la forma: f(x) = u(x)/v(x), podemos encontrar la derivada de esta función utilizando la derivada de la regla del cociente como,
Ejemplos de la regla del cociente con soluciones
Junto con las reglas del múltiplo constante y de la suma, las reglas del producto y del cociente nos permiten calcular la derivada de cualquier función que esté formada por sumas, múltiplos constantes, productos y cocientes de funciones básicas. Por ejemplo, si \(F\) tiene la forma
entonces \(F\) es un cociente, en el que el numerador es una suma de múltiplos constantes y el denominador es un producto. Así, la derivada de \(F\) se puede encontrar aplicando la regla del cociente y luego utilizando las reglas de la suma y de los múltiplos constantes para diferenciar el numerador y la regla del producto para diferenciar el denominador.
Problemas de práctica de derivadas difíciles
\N-(\lim_{Delta x \}hasta 0} \dfrac{f(x+Delta x) – f(x)}{Delta x}{Bigr)\N-(\lim_{Delta x \}hasta 0} g(x+Delta x)\N-) + f(x)\N-(\lim_{Delta x \}hasta 0} \dfrac{g(x+Delta x) – g(x)}{Delta x}{Bigr).
La razón en el primer límite expresa el cambio en la función \(f\), desde su valor en \(g(x)\) hasta su valor en \(g(x+\Delta x)\), en relación con la diferencia entre \(g(x+\Delta x)\ y \(g(x)\N.) Por tanto, a medida que \(\Delta x \a 0\), este primer término se aproxima a la derivada de \(f\) en el punto \(g(x)\a), es decir \a(f'(g(x))\a). El segundo límite es claramente \(g'(x)\). Concluimos que
La prueba anterior no es del todo rigurosa: por ejemplo, si hay valores de \(\Delta x\) cercanos a cero tales que \(g(x+\Delta x) – g(x) = 0\), entonces tenemos división por cero en el primer límite. Sin embargo, una demostración totalmente rigurosa está más allá del nivel de secundaria.
Sea \(g(x) = x^n\), donde \(n\) es positivo. Utilizando los hechos \(g'(x) = nx^{n-1}\) y \(\dfrac{d}{dx} \Biggl(\dfrac{1}{x}\Biggr) = -\dfrac{1}{x^2}\) y la regla de la cadena, calcular \(\dfrac{d}{dx} \Biggl(\dfrac{1}{x^n}\Biggr)\).
