Fórmula de la velocidad
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En muchas situaciones comunes, para encontrar la velocidad, utilizamos la ecuación v = s/t, donde v es igual a la velocidad, s es igual al desplazamiento total desde la posición inicial del objeto y t es igual al tiempo transcurrido. Sin embargo, técnicamente esto sólo da la velocidad media del objeto a lo largo de su trayectoria. Utilizando el cálculo, es posible calcular la velocidad de un objeto en cualquier momento de su trayectoria. Esto se llama velocidad instantánea y se define por la ecuación v = (ds)/(dt), o, en otras palabras, la derivada de la ecuación de la velocidad media del objeto[2].
Resumen del artículoPara calcular la velocidad instantánea, empieza con una ecuación de la velocidad en términos de desplazamiento, que debe tener una «s» en un lado para el desplazamiento y una «t» en el otro para el tiempo. Luego, toma la derivada de la ecuación y sustituye la «s» por la notación «ds» sobre «dt». Finalmente, introduce un valor de «t» y resuelve la ecuación para encontrar la velocidad instantánea en cualquier punto del tiempo. Para aprender a estimar la velocidad instantánea de forma gráfica, desplázate hacia abajo.
Cómo hallar la velocidad instantánea sin cálculo
El concepto cotidiano de velocidad surge cuando consideramos la rapidez o lentitud con que se mueve un cuerpo. De alguna manera relacionamos el desplazamiento del cuerpo con el tiempo invertido en él. En este apartado, vamos a especificar qué es la velocidad física, también conocida como velocidad instantánea, o simplemente, velocidad. Para entenderlo bien, te recomendamos que leas previamente el apartado en el que presentamos la velocidad media.
La velocidad instantánea, o simplemente velocidad, se define como el límite de la velocidad media cuando el cambio de tiempo se aproxima a cero. También se define como la derivada del vector posición con respecto al tiempo. Su expresión viene dada por:
Para definir con precisión el concepto de velocidad instantánea partimos del concepto de velocidad media, que ya hemos estudiado, y nos vamos a ayudar de la gráfica de la figura.
El procedimiento para definir la velocidad instantánea o, simplemente, la velocidad de un cuerpo en un punto A, consiste en calcular la velocidad media entre A y un punto lo más cercano posible a A. Esto es lo mismo que calcular la velocidad media en un intervalo de tiempo lo más pequeño posible. En la gráfica se puede ver el vector posición del punto A y del resto de puntos B, C y D. Estos son r→A , r→B , r→C y r→D respectivamente. También se representan los vectores de desplazamiento entre A y cada uno de los puntos B, C y D. Estos son r→A , r→B , r→C y r→D respectivamente. Como se puede ver en la gráfica anterior, a medida que el segundo punto se acerca a A el vector de desplazamiento se acerca a ser tangente a la trayectoria en el punto A y su magnitud se aproxima al valor de la distancia recorrida sobre la trayectoria.
Matriz de velocidad instantánea
Ya hemos visto cómo calcular la velocidad media entre dos posiciones. Sin embargo, como los objetos en el mundo real se mueven continuamente a través del espacio y el tiempo, nos gustaría encontrar la velocidad de un objeto en cualquier punto. Podemos encontrar la velocidad del objeto en cualquier punto de su trayectoria utilizando algunos principios fundamentales del cálculo. Esta sección nos permite comprender mejor la física del movimiento y nos será útil en capítulos posteriores.
La cantidad que nos indica la rapidez con la que se mueve un objeto en cualquier punto de su trayectoria es la velocidad instantánea, normalmente llamada simplemente velocidad. Es la velocidad media entre dos puntos de la trayectoria en el límite en el que el tiempo (y por tanto el desplazamiento) entre los dos eventos se aproxima a cero. Para ilustrar esta idea matemáticamente, necesitamos expresar la posición x como una función continua de t denotada por x(t). La expresión de la velocidad media entre dos puntos utilizando esta notación es v-=x(t2)-x(t1)t2-t1v-=x(t2)-x(t1)t2-t1. Para encontrar la velocidad instantánea en cualquier posición, dejamos que t1=tt1=t y t2=t+Δtt2=t+Δt. Tras insertar estas expresiones en la ecuación de la velocidad media y tomar el límite como Δt→0Δt→0, encontramos la expresión de la velocidad instantánea:
Estimar la velocidad instantánea cuando t=1
En primer lugar, lo que quería preguntar era: tenemos una ecuación de aproximación que expresa la relación lineal entre la distancia y el tiempo, así que ahora tengo dos opciones: poner directamente 3 en la ecuación, o tomar la derivada, pero la derivada no se podría tomar porque es lineal así que tomando la derivada tendré una función constante, así que eso significa que debería poner $t=3$, ¿sí?
A continuación tienes un gráfico de dispersión de tus datos. A pesar de lo que sugieren las instrucciones, no sabes cómo es la gráfica de $s$. Sin embargo, puedes imaginar una curva que modele los puntos de datos. Esta curva es la curva púrpura que se muestra en el diagrama.
¿Cómo puedes estimar esta pendiente utilizando los datos de la tabla? Bueno, es esencialmente lo que has hecho: estimar la pendiente de la recta tangente, y por tanto la velocidad instantánea a $t=3$, con la pendiente de una recta secante entre dos de los puntos de datos dados. (Ten en cuenta, por favor, que sólo necesitas estimar la pendiente de la recta; no necesitas encontrar la ecuación de la recta tangente).
