Método de los coeficientes indeterminados, problemas de ejemplo pdf
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Los ejercicios 5.4.31-5.4.36 tratan las ecuaciones consideradas en los ejemplos 5.4.1-5.4.6. Sustituir la forma sugerida de \(y_{p}\) en la ecuación e igualar los coeficientes resultantes de las funciones similares en los dos lados de la ecuación resultante para derivar un conjunto de ecuaciones simultáneas para los coeficientes en \(y_{p}\). A continuación, resuelva para los coeficientes para obtener \ ~ (y_{p}\). Compare el trabajo que ha realizado con el trabajo necesario para obtener los mismos resultados en los ejemplos 5.4.1-5.4.6.
38. Suponga que \(\alpha\ne0\) y \(k\) es un número entero positivo. En la mayoría de los libros de cálculo, las integrales como \(\int x^k e^{alfa x},dx\) se evalúan integrando por partes \(k\) veces. Este ejercicio presenta otro método. Sea
Solución particular
Para obtener la solución completa de una ecuación diferencial lineal no homogénea, el Teorema B dice que hay que añadir una solución particular a la solución general de la ecuación homogénea correspondiente.
Si la ecuación es de un tipo especial, se puede utilizar el método de los coeficientes indeterminados para obtener una solución particular. Las funciones especiales que se pueden manejar con este método son las que tienen una familia finita de derivadas, es decir, funciones con la propiedad de que todas sus derivadas se pueden escribir en términos de sólo un número finito de otras funciones.
y el ciclo se repite. Observa que todas las derivadas de d pueden escribirse en términos de un número finito de funciones. [En este caso, son sin x y cos x, y el conjunto {sin x, cos x} se llama la familia (de derivadas) de d = sin x]. Este es el criterio que describe los términos no homogéneos d( x) que hacen que la ecuación (*) sea susceptible del método de los coeficientes indeterminados: d debe tener una familia finita.
Obsérvese que la derivada n ( n ≥ 1) contiene un término que implica tan n-1 x, por lo que a medida que se toman derivadas cada vez más altas, cada una contendrá una potencia cada vez más alta de tan x, por lo que no hay forma de que todas las derivadas puedan escribirse en términos de un número finito de funciones. El método de los coeficientes indeterminados no podría aplicarse si el término no homogéneo en (*) fuera d = tan x. Entonces, ¿cuáles son las funciones d( x) cuyas familias de derivadas son finitas? Véase la tabla 1.
Utilice el método de los coeficientes indeterminados para resolver el sistema no homogéneo dado
A partir del teorema 5.3.2, la solución general de la ecuación \ref{c:5.4.1} es \(y=y_p+c_1y_1+c_2y_2\), donde \(y_p\) es una solución particular de la ecuación \ref{c:5.4.1} y \({y_1,y_2\}) es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria
En la sección 5.2 mostramos cómo encontrar \(\{y_1,y_2\}\). En esta sección mostraremos cómo encontrar \(y_p\). El procedimiento que utilizaremos se llama método de los coeficientes indeterminados. Nuestro primer ejemplo es similar al de los ejercicios 5.3.16-5.3.21.
Sustituyendo \(y_p=Ae^{2x}\) por \(y\) en la ecuación \ref{c:5.4.2} se obtendrá un múltiplo constante de \(Ae^{2x}\) en el lado izquierdo de la ecuación \ref{c:5.4.2}, por lo que puede ser posible elegir \(A\) de modo que \(y_p\) sea una solución de la ecuación \ref{c:5.4.2}. Vamos a intentarlo; si \(y_p=Ae^{2x}\) entonces
A partir de nuestro éxito en la búsqueda de una solución particular de la ecuación \ref{eq:5.4.2} – donde elegimos \(y_p=Ae^{2x}\) porque el lado derecho de la ecuación \ref{ec:5.4.2} es un múltiplo constante de \(e^{2x}\) – puede parecer razonable intentar \(y_p=Ae^{4x}\) como una solución particular de la ecuación \ref{ec:5.4.4}. Sin embargo, esto no funcionará, ya que vimos en el ejemplo 5.4.1
Método de los coeficientes indeterminados
donde \(y_{1},y_{2}\) son un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea correspondiente, y \(y_{p}(t)\) es una solución particular de la ecuación no homogénea.Pasos para resolver \(y^{prime\}+p(t)y^{prime}+q(t)y=g(t):\)
La idea del método de los coeficientes indeterminados es adivinar cuál debe ser la solución particular \(y_{p}\), basándose en el aspecto de \(g(t)\). Si pensamos en el LHS de una ecuación diferencial como una máquina que toma como entrada alguna función \(y\) y produce como salida una función \(y» + py’ + qy\text{,}\) podemos adivinar el tipo de entrada que se requiere para producir la salida \(g(t)\) como una suma de derivadas de \(y\text{,}\)
Nuestra conjetura de \(y_{p}\) será siempre la forma general de \(g(t)\text{,}\} para la función agradable. Por ejemplo, adivinaremos que las entradas polinómicas producen salidas polinómicas, que las entradas exponenciales producen salidas exponenciales y que las entradas trigonométricas producen salidas trigonométricas.
Esto parece más complicado de lo que en realidad es, porque existe la posibilidad de que \(g(t)\Nsea en realidad una solución de la ecuación homogénea. Por lo tanto, \(s=\) es el menor número entero no negativo (\(s=0,1,\) o \(2\)) tal que ningún término de \(y_{p}\) es una solución a la ecuación homogénea correspondiente. (Por ejemplo, dada la ecuación \(x» + 4x’ + 4x = e^{-2t}\text{,}\) no podemos adivinar \(y_p = A e^{-2t}\) porque esto resuelve la ecuación homogénea).
