Campos vectoriales fríos
Contenido
25. Diga una fórmula (\vecs{F}(x,y)=M(x,y)\hat{mathbf i}+N(x,y)\hat{mathbf j}) para el campo vectorial en un plano que tiene las propiedades de que \vecs{F}=vecs 0\) en ((0, 0)\Ny que en cualquier otro punto \((a,b), \vecs F\) es tangente a la circunferencia \N(x^2+y^2=a^2+b^2\) y apunta en el sentido de las agujas del reloj con magnitud \N(||vecs F\|=\sqrt{a^2+b^2}\N).
27. Encuentre una fórmula para el campo vectorial (\\vecs{F}(x,y)=M(x,y)\hat{mathbf i}+N(x,y)\hat{mathbf j}) dado el hecho de que para todos los puntos ((x, y)\N, \Nvecs F\Napunta hacia el origen y \Nvecs F\N=dfrac{10}{x^2+y^2}.
Para los ejercicios 28 – 29, suponga que un campo eléctrico en el plano \(xy\)-causado por una línea de carga infinita a lo largo del eje \(x\)-es un campo de gradiente con función potencial \(V(x, y)=c\ln\ladej(\frac{r_0}{sqrt{x^2+y^2}\t)\lderecha), donde \(c>0\) es una constante y \(r_0\) es una distancia de referencia en la que se supone que el potencial es cero.
Una línea de flujo (o línea de corriente) de un campo vectorial \(\vecs F\) es una curva \(\vecs r(t)\) tal que \(d\vecs{r}/dt=\vecs F(\vecs r(t))\N.) Si \(\vecs F\) representa el campo de velocidad de una partícula en movimiento, entonces las líneas de flujo son caminos tomados por la partícula. Por lo tanto, las líneas de flujo son tangentes al campo vectorial.
Problemas de integración vectorial y soluciones pdf
Los campos vectoriales son una herramienta importante para describir muchos conceptos físicos, como la gravitación y el electromagnetismo, que afectan al comportamiento de los objetos en una gran región de un plano o del espacio. También son útiles para tratar el comportamiento a gran escala, como las tormentas atmosféricas o las corrientes oceánicas de las profundidades. En esta sección, examinamos las definiciones básicas y los gráficos de los campos vectoriales para poder estudiarlos con más detalle en el resto del capítulo.
¿Cómo podemos modelar la fuerza gravitatoria ejercida por múltiples objetos astronómicos? ¿Cómo podemos modelar la velocidad de las partículas de agua en la superficie de un río? La figura 6.2 ofrece representaciones visuales de estos fenómenos.
La figura 6.2(a) muestra un campo gravitatorio ejercido por dos objetos astronómicos, como una estrella y un planeta o un planeta y una luna. En cualquier punto de la figura, el vector asociado a un punto da la fuerza gravitatoria neta ejercida por los dos objetos sobre un objeto de masa unitaria. Los vectores de mayor magnitud en la figura son los más cercanos al objeto mayor. El objeto más grande tiene mayor masa, por lo que ejerce una fuerza gravitatoria de mayor magnitud que el objeto más pequeño.
Aplicaciones de los campos vectoriales
En el cálculo vectorial y en la física, un campo vectorial es la asignación de un vector a cada punto de un subconjunto del espacio[1]. Por ejemplo, un campo vectorial en el plano puede visualizarse como una colección de flechas con una magnitud y dirección determinadas, cada una de ellas unida a un punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la fuerza y la dirección de alguna fuerza, como la magnética o la gravitatoria, a medida que cambia de un punto a otro.
Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden naturalmente a los campos vectoriales. Cuando un campo vectorial representa una fuerza, la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza que se mueve a lo largo de una trayectoria, y bajo esta interpretación la conservación de la energía se exhibe como un caso especial del teorema fundamental del cálculo. Los campos vectoriales pueden considerarse como la representación de la velocidad de un flujo en movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones como la divergencia (que representa la tasa de cambio de volumen de un flujo) y el rizo (que representa la rotación de un flujo).
Calculadora de campos vectoriales
25. Diga la fórmula \N(\vecs{F}(x,y)=M(x,y)\Ny que es N(x,y)\Ny que es j) para el campo vectorial en un plano que tiene las propiedades de que \N(\vecs{F}=vecs 0) en \N(0, 0)\Ny que en cualquier otro punto \((a,b), \vecs F\) es tangente a la circunferencia \N(x^2+y^2=a^2+b^2\) y apunta en el sentido de las agujas del reloj con magnitud \N(||vecs F\|=\sqrt{a^2+b^2}\N).
27. Encuentre una fórmula para el campo vectorial \(\vecs{F}(x,y)=M(x,y)\hat{mathbf i}+N(x,y)\hat{mathbf j}) dado el hecho de que para todos los puntos ((x, y)\N, \Nvecs F\Napunta hacia el origen y \Nvecs F\N=dfrac{10}{x^2+y^2}.
Para los ejercicios 28 – 29, suponga que un campo eléctrico en el plano \(xy\)-causado por una línea de carga infinita a lo largo del eje \(x\)-es un campo de gradiente con función potencial \(V(x, y)=c\ln\ladej(\frac{r_0}{sqrt{x^2+y^2}\t)\lderecha), donde \(c>0\) es una constante y \(r_0\) es una distancia de referencia en la que se supone que el potencial es cero.
Una línea de flujo (o línea de corriente) de un campo vectorial \(\vecs F\) es una curva \(\vecs r(t)\) tal que \(d\vecs{r}/dt=\vecs F(\vecs r(t))\N.) Si \(\vecs F\) representa el campo de velocidad de una partícula en movimiento, entonces las líneas de flujo son caminos tomados por la partícula. Por lo tanto, las líneas de flujo son tangentes al campo vectorial.
