20 ejercicios de antiderivadas resueltos

Ejemplos de antiderivadas con soluciones

En esta sección nos centramos en la integral indefinida: su definición, las diferencias entre las integrales definidas e indefinidas, algunas reglas integrales básicas y cómo calcular una integral definida.

Recordemos la definición de antiderivada del apartado 1.1: Una función \(F\) es una antiderivada de \(f\) en un intervalo \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) para todo \(x\) en \(I\text{.}) Exploremos la antiderivada concretamente dejando \(f(x)=2x\text{.}) Entonces podemos determinar fácilmente que la antiderivada de \(f\) es la función \(F(x)=x^2\text{,}\}, es decir, \(F'(x)=f(x)\text{.}\}. Sin embargo, la función \(F(x)+1 = x^2+1\) también tiene como derivada \(f\):

No nos sorprende que las gráficas de la familia de funciones \(F(x)+C\) sean visualmente sólo desplazamientos verticales de \(F(x)\text{.}\} En el caso particular cuando \(F(x)=x^2\text{,}\) también podemos ver con las gráficas de la familia de funciones \(F(x)+C\) abajo que en cualquier punto \(x\) las rectas tangentes son paralelas, es decir, las pendientes de las tangentes son las mismas, es decir, la familia de funciones tiene la misma derivada \(f(x)=2x\text{,}\}

Ejercicios de integración por sustitución

Llegados a este punto, hemos visto cómo se calculan las derivadas de muchas funciones y se nos ha presentado una variedad de sus aplicaciones. Ahora nos planteamos una pregunta que da la vuelta a este proceso: Dada una función, ¿cómo encontramos una función con la derivada y por qué nos interesa dicha función?

Respondemos a la primera parte de esta pregunta definiendo las antiderivadas. La antiderivada de una función es una función con derivada ¿Por qué nos interesan las antiderivadas? La necesidad de las antiderivadas surge en muchas situaciones, y a lo largo del texto veremos varios ejemplos. Aquí examinamos un ejemplo específico que implica un movimiento rectilíneo. En nuestro examen en Derivadas del movimiento rectilíneo, mostramos que dada una función de posición de un objeto, entonces su función de velocidad es la derivada de -es decir, Además, la aceleración es la derivada de la velocidad -es decir, Ahora supongamos que se nos da una función de aceleración pero no la función de velocidad o la función de posición Ya que determinar la función de velocidad requiere que encontremos una antiderivada de la función de aceleración. Entonces, como la determinación de la función de posición requiere que encontremos una antiderivada de la función de velocidad. El movimiento rectilíneo es sólo un caso en el que surge la necesidad de antiderivadas. Veremos muchos más ejemplos a lo largo del resto del texto. Por ahora, veamos la terminología y la notación de las antiderivadas, y determinemos las antiderivadas de varios tipos de funciones. Examinaremos varias técnicas para encontrar antiderivadas de funciones más complicadas en el segundo volumen de este texto (Introducción a las técnicas de integración).

Ejercicios integrales con soluciones

La calculadora de integrales te permite calcular integrales y antiderivadas de funciones online, ¡gratis! Nuestra calculadora te permite comprobar tus soluciones a los ejercicios de cálculo. Te ayuda a practicar mostrándote el funcionamiento completo (integración paso a paso). La Calculadora Integral soporta integrales definidas e indefinidas (antiderivadas), así como la integración de funciones con muchas variables. También puedes comprobar tus respuestas. Los gráficos/trazados interactivos ayudan a visualizar y comprender mejor las funciones.Para saber más sobre cómo utilizar la Calculadora Integral, ve a la «Ayuda» o echa un vistazo a los ejemplos.Y ahora: ¡Feliz integración!

Introduce la función que quieres integrar en la Calculadora Integral. Omite la parte «f(x) =» y la diferencial «dx». La Calculadora Integral te mostrará una versión gráfica de tu entrada mientras escribes. Asegúrate de que muestra exactamente lo que quieres. Utiliza paréntesis, si es necesario, por ejemplo «a/(b+c)».En «Ejemplos», puedes ver qué funciones admite la Calculadora Integral y cómo utilizarlas.Cuando termines de introducir tu función, haz clic en «Go!», y la Calculadora Integral mostrará el resultado a continuación.En «Opciones», puedes establecer la variable de integración y los límites de integración. Si no especificas los límites, sólo se calculará la antiderivada.

Calculadora de integrales indefinidas

Mostrar respuestaPrimero encontramos el valor de la integral:Para explicar lo que representa la integral en el lenguaje del problema, necesitamos conocer las unidades para t y las unidades para la integral. Nos dicen que t se mide en horas y v(t) en millas por hora. Esto significa que la integral se mide en millas. Así que es la distancia que Bob condujo desde el tiempo t = 0 horas hasta el tiempo t = 2 horas. Como nos dicen que las 15 horas corresponden a t = 0, t = 2 corresponde a las 17 horas. Juntando todo, es la distancia que Bob condujo desde las 3pm hasta las 5pm.

Se abre un grifo y el agua sale a un ritmo de galones por minuto, donde t es el número de minutos desde que se abrió el grifo. Para el galón más cercano, ¿cuál es la cantidad de agua que sale del grifo durante los dos primeros minutos en los que el grifo está abierto?

Mostrar respuestaQueremos saber el cambio en la cantidad de agua que ha salido del grifo desde el tiempo t = 0 minutos hasta el tiempo t = 2 minutos. Esto significa que necesitamos integrar v(t) de 0 a 2. Redondeando al galón más cercano, 11 galones salen del grifo durante los primeros 2 minutos que está abierto.